company corporation firmの違いをまとめています。

いずれも「会社」を意味し、この中のひとつはその他の意味も複数持っています。
 
英語類義語活用辞典、英語類義語使い分け辞典、ロングマン英々辞典を参考にしています。

ロングマン英々辞典の解説

company
1 an organization made up of people who work togehter for purposes of business or trade
 
2 a group of entertainers who work together
 
3 the presence of another person; companionship
 
4 companions; the people with whom a person spends time
 
5 one or more guests
 
6 a group of about 120 soldiers
 
corporation
1 a group of people who are permitted by law to act as a single unit, esp for purposes of business, with rights and duties separate from those of its members
 
2 a town council
 
firm
a business company
 
ロングマンによると、最も多くの意味を持つのはcompanyのようです。
 
「会社」だけでなく「人の集団」という意味もあり、映画の銃撃戦シーンでの「We got company!」は決まり文句になってますね。

英語類義語活用辞典の解説

firmには二つの使い方があります。
 
ひとつは個人商店など比較的規模の小さいもの、もうひとつは会社のあらゆる組織の総称です。つまりcorporationもcompanyもfirmの一種とみなすのです。
 
a printing firmというと、普通は中小企業を指しますが、大きな会社の可能性もあります。
 
corporationはアメリカで最も多く用いられる会社の正式な総称、いわゆる株式会社のことで、法的には個人としての意思を持つものとして扱われます。
 
companyは共通の利益追求のために参加した人々のグループで、firmもcorporationもpartnershipも含む会社の総称です。
 
アメリカではWilliams, Kellog&Company, Inc(ウィリアムズ・レロッグ株式会社)といった社名が多いです。
 
company town、company unionという用法はありますが、このcompanyをfirmに替えることはできません。
 
つなみにcompany unionとは全国組合の一環ではなく、従業員との交渉の目的で会社により作られる従業員組合のことです。