「捨てる」という意味の英語では

abandon
desert
leave
 
あたりがよく使われます。

これらが持つ意味の違いを「英語類義語活用辞典」「英語類義語使い分け辞典」「ロングマン英々辞典」を参考にまとめてみました。

英語類義語活用辞典での解説

abandon
深く関わってきた人間関係や物事を何かの事情で捨てなければならない羽目になったことを意味します。
 
映画やドラマを見ていて最もよく耳にするのは、難破したり攻撃を受けた船が沈没確定となった時に船長が発する「Abandon ship！」ではないでしょうか。
 
desert
abandonと同じく、深く関与した何かを捨てるだけでなく、法律的な義務を放棄することにウェイトがあります。
 
desertは元来軍隊用語で、deserterは「敵前逃亡兵」のことで厳罰（しばしば死刑）に処せられたそうです。
 
desertionは夫が扶養の義務を放棄して家族を捨てて逃亡することの法律用語で、かつてはアメリカで離婚が認められる唯一の理由でした。
 
leave
この中では感情的含みが最も少ない一般的な用語で、他の二つは感情的プレッシャーが強くなります。
 

 
家族関係にabandon、desert、leaveを使った場合、意味の違いにより以下のような例文ができます。
 
A man who deserted his wife and children has abandoned all his moral and legal obligation to his family.
（妻子を捨てて逃げた男は、自分の家族に対する道徳的、法的義務を放棄したことになる）
 
A man who leaves his wife and children can still be legally honorable if he continues to support his family.
（妻子のもとを去った男でも、扶養の義務を怠らなければ、法的に何ら非難されるところはない）

英語類義語使い分け辞典での解説

次に「英語類義語使い分け辞典」での解説を紹介します。
 
abandon
二度と戻らないつもりで（人・物・場所を）捨てる。特に非難を表す語ではない。
 
He abandoned his wife and children.
abandon a wrecked plane.
 
desert
「（人・場所を）見捨てる」という意味では、abandonとほぼ同義であるが、不当な行為であるという非難を含意する。
 
desert one’s wife and children.
The soldier deserted his post in time of war and was shot.
 
leave
同居などの状態をやめて、他へ立ち去っていく。
 
Don’t leave us when we are in trouble.
 

 
「英語類義語使い分け辞典」では、forsakeについても解説されています。
 
forsake
（文語）以前親しんでいた（人や場所を）捨てる（心の痛みを強調）。
 
He forsook home and his wife to enter a monastery.
（彼は修道院に入るために家も妻も捨てた）

英々辞典（ロングマン）での違い

お約束の英々辞典の解説です。
 
abandon
1 to leave completely and for ever;DESERT
 
He abandoned his wife and children.
When the fire got out of control, the captain told the sailors to abandon ship.
 
2　to give up or bring an end to (something), esp. without finishing it or gaining the intended result.
 
The bad weather forced them to abandon their search.
 
desert
1 to leave empty or leave completely
 
The guard deserted his post.
 
2 to leave at a difficult time or in a cruel way, esp. with the intention of not returning; ABABDON
 
The baby’s mother desereted him soon after giving birth.
 
leave
1 to go away(from)
 
We must leave(the party) early.
 
2 to stop being in or with (a place, organization, person, etc.)
 
I’m leaving England and goin to live in Spain.
 
leave が一番”色”がないため広く使われることがわかります。
 
abandonとdeserteはかなりかぶるところが多いですが、desertのほうが「非難」「責められるべき」という含みが強くなるようですね。