このコンテンツでは、actとactionの違いをまとめています。

英語類義語活用辞典、英語類義語使い分け辞典およびロングマン英々辞典の解説を参考にしています。
 
語の持つ「含み」や熟語での意味に違いがあるようです。

英語類義語活用辞典の解説「いかがわしい」含みの有無

act
事実となって外に現れた行動。
 
「のっぴきならぬ事実となって現れてしまった行動」を表すactの例文を二つ紹介します。
 
It was an act of folly.
(それは愚行だった)
 
The pickpocket was caught in the act.
(そのスリは現行犯で捕まった)
 
actには、これらのように「隠しておきたくても外に現れた行動」だけでなく、意図的に外に現れる効果を狙う行動もあります。つまり「芝居をする」意味(もしくは芝居そのもの)で使われるのです。
 
She put on an act that deceived no one.
(彼女は心にもないことをしてみせたが、誰もごまかされなかった)
 
He wrote the play and acted in it.
(彼はその芝居を書き、また出演した)
 

 
action
inactionの反対で行動を起こすこと。
 
物質が他の物質の変化にもたらず作用もactionを用います。
The action of acid on meatal is well known.
(酸が金属におよぼす作用はよく知られている)
 
The action of the drug will start in half an hour.
(この薬は30分ほどで効き始める)
 
実際に行動している状態をin actionと言います。
 
I saw a pickpocket in action.
(私はスリが人のものを盗んでいるところを目撃した)
 
↑これと次の例文との違いをはっきりさせておきましょう。
 
They caught a pickpocket in the act
 
catch someone in the act は catch someone red-handed とも言い、悪いことをしている現場をおさえる、という意味になります。
 
actには「いかがわしい行為」という含みがありますが、actionにはそういう含みはなく、単に行動、実動という無色透明な言葉です。
 
see action という用法もあり、これは「前線で兵士として戦う」ことです。これは戦争以外の話題で使うことはありません。
 
I saw action in the World WarⅡ.
(私は第二次大戦に参戦した)
 
Did you see much action in the last war?
(先の戦争では実戦に参加しましたか?)

ロングマン英々辞典の解説

act
1 something that someone has done: an action of a particular kind
 
an act of great generousity/courage
This despicable act will no go unpunished.

 
2 a law made by a parliament or similar body
 
The drug was banned by an act of parliament.
 
 
action
1 the fact or process of doing things, with the intention of gaining a desired result
 
The police had to take firm action to deal with the riots.
 
2 somthing done; a DEED
 
His prompt action probably saved her life.
 
3 effect
 
Photographs are produced by the action of light on film.
 
actionの方は「望む結果を得るためにやる」という解説がありますね。
 
その他の違いをまとめるとこんな感じです。
 
act 
法律 劇の幕・出し物 
 
action
戦闘 訴訟 物語の筋