このコンテンツではcompete contest contendの違いをまとめています。
 
いずれも「競う」意味を持ちますが、競う手段や相手への意識などは微妙に違うようです。

英語類義語活用辞典、英語類義語使い分け辞典、ロングマン英々辞典を参考にしています。

英語類義語使い分け辞典の解説

compete
他人を負かそうとして競い合う（最も意味の広い語）
 
contend
戦いや競争で相手を打ち負かそうとする（敵意を含意する）
 
contest
（選挙・競争・試合などに）参加して勝とうとする（格式ばった語）
 
vie
いろいろ策を講じて競い合う（格式ばった語）

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ロングマン英々辞典の解説

compete
to try to win something in competition with someone else
 
She and her sister are always competing for attention.
 
contest
1 to compete for; fight for
 
2 to argue about the rightness of
 
contend
1 to compete or struggle against difficulties
 
2 to claim; say or state strongly

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英語類義語活用辞典の解説

この三つはいずれも他人と競争する意味ですが、含みは違いがあります。
 
competeは一対一で競う意識が強い言葉で、相手をライバルとしてとらえます。
 
相手を倒して目的を果たすのがアクションの本質で、compete forの形をとります。目的はあくまで具体的なもので、物だけでなく人の場合もあります。
 
These two men are competing for the affection of one girl.
（あの二人の男はひとりの女の子の愛情を得ようと争っている）
 
contestはcompeteのようにエゴむき出しではありません。論理で相手の説を覆して自分が正しいことを主張するのがそのココロです。
 
He contested the company’s claim that he had resigned voluntarily.
（「自発的に辞めた」という会社の主張を彼は否定した）
 
The attempt to recocile the contesting parties failed.
（対立している勢力を和解させる試みは失敗した）
 
contestはoppose、fightなどと入れ替え可能ですが、competeとは替えられません。
 
それぞれの同義語は以下のようになります。
 
competitionはrivalry
contestはstruggle、dispute
 
contestが相手の説に異を唱え、反証を挙げることで自分を守ることであるのに対し、contendは相手の説如何にかかわらず自分の説を全面的に主張します。
 
He contended that his in-laws’ claim to the property was entirely unfounded.
（義理の親や兄弟が財産の分配を受ける権利は全く無い、と彼は主張した）
 
contendはcontentionと名詞にすると、contestとの違いがわかりやすくなります。
 
contestは自分の特技で競技に参加することで、contentionは意見の主張です。
 
contenderはスポーツなどでチャンピオンの座を狙って立つ挑戦者を指します。ボクシングで使われますが、比喩的に他の分野でも使用されます。
 
挑戦者とはいえ、その世界で認められた実力がなければいけません。そのため
 
He wants to compete but he is not a contender.
 
という言い方があります。