careとmindはどちらも「気にかける」を意味しますが、「どのように気にしているのか」には大きな違いがあります。

好ましいと思っているのかいないのか、ですね。
 
このコンテンツではその違いをまとめています。
 

 
英語類義語活用辞典、英語類義語使い分け辞典、ロングマン英々辞典を参考にしています。


英語類義語活用辞典の解説

動詞としてのcareとmindは「気にかける」ことですが、その気のかけ方は真逆になります。
 
会合の席などで、話し相手に第三者を紹介しましょうか?と聞く場合、Do you care to meet him?と言います。
 
それに対し聞かれた側は、紹介して欲しければYes, please. 興味がなければNo, thanks. I don’t think so.と返します。
 
同じような内容でmindを使ってDo you mind sitting next to him?と聞いたとします。
 
ここで相手がYes.と答えるとYes, I do mind.となり、「イヤです(座りたくありません)」と嫌悪感を持っている表明になります。
 
careは対象を大切に思う気持ちを表現します。
 
She writes with care.
(彼女は心をこめた文章を書く)
 
先のDo you care to meet him?はDo you like to meet him.とあまり変わりません。
 
これと関連してmindはdislikeとも考えられます。なのでDo you mind sitting next to him?は「あの方の隣の席はイヤですか?」であり、Yesは「イヤです」、Noは「イヤじゃないです。座ります」ということになります。
 
I don’t mind him.はI don’t dislike him.ということなので、I care for him.の底意になります。

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ロングマン英々辞典の解説

care
1 to be werried, anxious, or concerned; mind
 
when his dog died Allan didn’t seem to care at all.
 
2 (esp. in polite suggestions)to like; want
 
Would you care to wait here, sir. until the manager can see you?
 
mind
1 to be careful; pay close attention
 
Mind that step; it’s loose!
 
2 (often used with would, in requests, and in negative sentences)
to have a reason against or be opposed to
be troubled by or dislike
 
”Which one would you like?” ”I don’t mind.”(=I would be pleased with either.)

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