このコンテンツでは、bringとfetchの違いをまとめています。

どからも「運ぶ」と訳されますが、片方は「持って帰る」の意味があるようです。
 
英語類義語活用辞典、英語類義語使い分け辞典、ロングマン英々辞典を参考にしています。

英語類義語活用辞典の解説

どちらも「運ぶ」の意味ですが、含みとして運ぶ”方向”に違いがあります。
 
bringは、actionの発生点、つまり発言者（自分もしくは話の中のナレーターなど）の方向に向かって運ばれてくることを言います。
 
1 He brought home a lot of souvenirs from Europe.
（彼はヨーロッパからたくさんの旅行土産を持ち帰った）
 
2 The trial brought a large crowd to the courthouse.
（裁判を見ようと大勢の人が法廷に集まった）
 
3 Some people still believe a black cat brings bad luck.
（黒猫は不運をもたらすと信じている人がいまだにいる）
 
ここでbringとfetchの違いを。
 
以上の例文でbringをfetchと入れ替えられるのは1だけです。
 
fetchはこちらに単に持ってくるだけでなく、対象物を持ち帰る目的でこちらから出向いていく含みがあるのです。
 
「出向いて持ち帰る」ということは、対象物は必然的に魅力のあるものや必需品になります。
 
「不運」という抽象的なものを「持ち帰る」ことはできないので、3のような例文ではbringを使います。
 
She had to leave her sick child alone while she fetched the doctor from town.
（病気の子供を残して、母親は医者を呼びに町へ行かなくてはならなかった）（親子は田舎に住んでいる）
 
fetchはpreferenceの行為で、取りに出かけるというアクションにウェイトがあります。取りに行くほど魅力がある、という含みから、a fetching girlという形容詞もあります。
 
またfetchは持ち帰るものが明白なのに対して、bringはもたらされた何かが焦点で、「自然の成り行きで」という含みを持ちます。
 
物が何等かの金銭的価値を呼ぶ、つまり売れる度合いを示す場合、bringとfetchは全く同じ意味に使われ、入れ替え可能になります。
 
Clerical skill fetches[brings] very little money in Japan.
（オフィスの技能は日本ではあまり金にならない）
 
How much does coal bring[fetch] per ton on open market？
（石炭の時価はいくらぐらいだろうか）

英語類義語使い分け辞典の解説

bring
（人や物を）別な場所から話し手のいる地点へ連れて（持って）行く。
 
take
（人や物を）話し手のいる地点から別な場所へ連れて（持って）行く。
 
fetch
別な場所まで行って（人や物を）連れて（取って）来る。
 
carry
（人や物を）自らまたは車などで現在の場所から別な場所へ運ぶ。

ロングマン英々辞典の解説

bring
1 to come with, carry, or lead（to or towards）
 
Bring your friend to your party.
 
2 to cause or lead to
The minister’s speech brought an angry reaction from his opponents.
 
fetch
1 to go and get from another place and bring back
 
Run and fetch the doctor！
 
2 to be sold for
 
The house should fetch a high price.
 
fetchのほうにはbring backとあり、「持ち帰る」の意味を持つのがわかります。
 
そういえば、投げたボールを犬に取って来させる時もfetchと言いますね。