このコンテンツではargue と debate の違いをまとめています。
 
この二つはどちらも「議論する」といった訳がつきますが、論点に対する姿勢には違いがあるようです。


 
「英語類義語活用辞典」および「ロングマン英々辞典」を参考にしています。

英語類義語活用辞典の解説

argue は議論に関わっている人の中で結論は決まっていて、自分の意見が正しいことを証明するために熱弁をふるいます。
 
そのため argue は論争になっている問題点に対して支持か反対のどちらかの立場をとります。
 
支持する場合はargue の後にfor、反対する場合は against を伴います。これらが伴わない場合でも、反対を押し切って時説を主張することに変わりはありません。
 
He powerfully argued his position about the system of retirement.
（彼は定年の施行法について自説を強く主張した）
 
He argured for the abolition of retirement.
（彼は定年制の撤廃を支持した）
 
He argued against early retirement of office workers.
（彼は従業員の早期定年制に反対した）
 

 
argue が自説に信念を持ち、相手を説き伏せようとする心的態度であるのに対し、debate は debate point（議論の余地のある部分）をとり上げることに重点が置かれています。
 
そのため「議論のための議論をする」というネガティブな含みを持つケースもあります。
 
They debated on the subject of office workers’ retirement age.
（彼らは勤め人の定年についてあれこれ討議した）
 
上の例文の debate を argue に置き換えてみます。
 
They argued over the retirement age of the office workers.
（彼らは従業員の定年について言い合いをした）
 
debate は議論に加わることに重点があり、argue ほど結論が重要ではありません。
 
debate は「心の中で決めかねている」状態を表すことがあります。
 
She debated in her mind whether she should go partying with her office mates or stay home and watch her favorite soap opera television.
（オフィスの仲間とパーティーに行くか、それとも家でホームドラマをみるか彼女は迷っていた）

ロングマン英々辞典の解説

argue
1 to express disagreement in words, often with strong feeling; quarrel
 
Do what you are told and don’t argue (with me).
They’re always arguing about/over money
 
2 to provide reasons for or against (something), esp.clearly and in proper order
 
We could argue this point for hours without reaching any conclusions.
 
3 to persuade (someone)by showing reasons for or against an idea or course of action. often with strong feeling
 
She argued him into/out of leaving his job.
 

 
debate
名詞の解説です。
1 a meeting, esp. in public, in which a question is talked about by at least two people or groups, each expressing a differint opinion
 
There was a long debate in Parliament on the question of capital punishment.
 
2 the process of talking about a question in detail
 
After much debate, the committee voted to close the school.
 
ロングマンのargue の解説で、第一に「（強く）反対する」とあったのはちょっと意外でした。
 
例文を読むと、「議論する」というより「つべこべ言う」ニュアンスでしょうか。