persist
1 to continue in a course of action or way of behaving, firmly and perhaps unreasonably, in spite of opposition or warning

If you persist in causing trouble, the company may be forced to dismiss you.

2 to continue to exist

The bad weather will persist all over the country.

insist
1 to declare firmly, esp. in the face of doubt or opposition

He insisted on his innocence, even though the police refused to believe him.

2 to order or demand (that something must happen or be done)

They are insisting on immediate repayment.

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英語類義語活用辞典の解説

persist と insist はいずれも「頑固」「強情」といった批判の意味か込められており、社交的な場で誰かに向かって使われる語ではありません。

話者の不快感を相手に伝える目的で次のように使うケースがあります。

Do you still persist in taking up that theme for your essay?
（あなたはどうしてもあのテーマでエッセイを書くのですか？）

これはアメリカの大学などで、アドバイスに反するテーマでエッセイを書く学生に対する先生の言葉です。この persist in は明らかに生徒への反感を含んでいます。

persist は、人の言うことを訊かずに思い通りに振る舞うことで、よく言えば頑張り、悪く言えば強情ということになります。

Women’s freedom was won largely through persistence.
（女性の自由は不断の努力の賜物だ）

この persistance は insistence には替えられません。なぜなら persistence には persiverence（忍耐）の意味があるからです。

persistence は insistence と違い、事柄や自然現象についても使えます。

The persistence of a fly buzzing around my head bothered me all night.
（ハエが頭のまわりをブンブンとしつこく飛んで一晩中悩まされた）

The rain persisted for days
（雨が何日も続いた）

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insist は自説を曲げないことで、他人の反対や賛成には無関係な強引さを含んでいますが、persist のように常に批判的ではありません。

社交面などでわざと強引さを出す際にも使われます。

I insist on your coming to my party this weekend. I will not take No for an answer.
（今週末に私の家でやるパーティーにはぜひ来てください。嫌とは言わせませんよ）

I’ll have another, if you insist.
（どうしてもということなら、もう一杯頂きます）

insist も persist と同じように、用法によっては相手を非難する含みを持ちます。

You insisted on doing that thing when I was dying to do it.
（私が死ぬほど書きたかった記事を、あなたは自分が書くと言い張った）

これは「あなた」に記事を取られた嫌味であり、新聞記者などの間で聞かれる会話です。

非難する含みがあるとはいえ一対一の場面であれば、これでもpersistよりinsistのほうがはるかにマイルドな表現になります。