このコンテンツではhealthyとsoundの違いをまとめています。

一方は「見た目が健康」でもOKなようです。
 

 
英語類義語活用辞典、英語類義語使い分け辞典、ロングマン英々辞典を参考にしています。

英語類義語使い分け辞典の解説

健康な
healthy
肉体的・精神的に健康な。
 
sound
申し分なく健康な。（healthyよりも意味が強い）
 
hale
（古風）（hale and hertyの形で）
 
robust
とても丈夫で健康な。
 
well
病気でない。（それ以上の含みはない）

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ロングマン英々辞典の解説

healthy
1 physically strong and not often ill; usually good in health
 
The country’s economy is not very healthy.
 
2 likely to produce good health
 
healthy seaside air
 
3 showing good healthe
 
a clear healthy skin
 
sound
1 in good condition; without disease or damage
 
The surveyor reported that all the walls were completely sound.
 
2 showing good sense or good judgement
 
That’s very sound advice; you should take it.
 
3 thorough; complete
 
to give employees a sound training
 
4 severe; hard
 
a sound beating
 
5 （of sleep）deep and untroubled

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英語類義語活用辞典の解説

healthyはあまり個性のない漠然とした語で、「病気でない」といった、ごく平凡な意味の健康状態を意味します。
 
The examination revealed him to be a perfectly healthy man.
（検査の結果、彼はすこぶる健康だった）
 
healthyは、また単に健康そうに見えることにも使います。
 
She has a healthy complexion.
（彼女は健康そうな顔いろをしている）
 
healthyはsoundより比喩的に用いられます。
 
健康かどうかは主観なので、発言者がその気になればhealthyを使うことができます。
 
She has a woman’s healthy share of vanity.
（彼女は女としてまっとうな虚栄心も十分持っている）
 
The kid had a healthy appetite.
（その子は旺盛な食欲をしていた）
 
Basically ours is a healthy economy.
（基本的にわが国の経済機能は健全だ）
 

 
対してsoundのほうはhealthyのように発言者の主観の具になることはまれで、よく言えばはっきりした、悪く言えば平板な余韻のない言葉です。
 
日本語で一番近いのは「ちゃんとした」ではないでしょうか。
 
有名な
 
Healthy minds in healthy bodies.
（健全な精神は健全な肉体に宿る）
 
と似た用例として
 
He is sound of mind and body.
（彼は心身ともにしごく健康だ）
 
がありますが、こちらはもっと積極的な主張であり、挑戦的な含みまでもっています。
 
soundの重点は、無傷であることで社会的価値としての健康です。
 
I want a sound horse.
（私が欲しいのは壮健な馬だ）
 
これはある映画で競走馬に高い値をつけた買い手が、その馬の脚に病気を発見して馬主に抗議した言葉です。
 
a sound horseは、a healthy looking horseなどではなく、ちゃんと医師の折り紙がついた、欠陥のない馬を指します。
 
His theory is sound.といえば、「彼の考えは世間の規準にかなって、ちゃんとしている」ことであり、社会的に通用するvalidな考え方です。